Elettrodinamica degli elementi superconduttivi massicci

La determinazione delle distribuzioni di corrente, campo magnetico e perdite in alternata all’interno di un corpo superconduttivo costituisce un requisito essenziale per il progetto di dispositivi di interesse industriale. Per questa ragione presso il Laboratorio di Superconduttività si sono sviluppati modelli numerici per il calcolo di tali distribuzioni in corpi superconduttivi soggetti alle condizioni di funzionamento più ricorrenti nella pratica. In particolari sono stati sviluppati i seguenti modelli:

1. Modello per il calcolo delle distribuzioni di corrente e AC losses all’interno di corpi superconduttivi soggetti a corrente di trasporto e campo magnetico esterno variabili nel tempo

2. Modello per l’analisi del processo di magnetizzazione di corpi superconduttivi soggetti a campo magnetico esterno

3. Modello per il calcolo delle distribuzioni di corrente e AC losses all’interno di corpi superconduttivi posti in vicinanza di corpi magnetizzabili e soggetti al campo magnetico prodotto da una bobina interagente con un circuito esterno

1. Modello per il calcolo delle distribuzioni di corrente e AC losses all’interno di corpi superconduttivi soggetti a corrente di trasporto e campo magnetico esterno variabili nel tempo

Il volume occupato dal corpo superconduttivo viene suddiviso in un numero finito di elementi tridimensionale. La densità di corrente all’interno di ogni elemento viene assunta uniforme, ed il suo valore viene espresso in funzione delle correnti attraverso le facce dell’elemento considerato mediante la tecnica dei minimi quadrati, i.e.

 dove K_J è una matrice che varia da elemento a elemento (uniforme in ogni elemento) e I è il vettore delle correnti attraverso tutte le facce della discretizzazione adottata.

Introducendo il potenziale vettore magnetico A e il potenziale elettrico scalare φ è possibile esprimere l’integrale di linea del campo elettrico su ogni percorso congiungente i centri x_h e x_k di due elementi confinanti attraverso la seguente relazione

Sostituendo al suo interno l’equazione (1.1) e la relazione costitutiva del materiale superconduttore la precedente equazione può essere interpretata come l’equazione delle tensioni di un ramo di circuito elettrico contenete dei termini di auto/mutua induzione associati alle correnti della regione SC, un termine resistivo non lineare associato al campo elettrico ed un termine di tensione impressa associato alla derivata delle correnti della regione normale.

Il modello di calcolo fin qui esposto non è applicabile quando il volume occupato dal superconduttore non è omogeneo. Tuttavia nella pratica gli elementi superconduttivi compositi sono molto ricorrenti; ad esempio uno strand superconduttivo multifilamentare col quale si realizzano i cavi SC per magneti, è realizzato mediante un elevato numero di filamenti superconduttivi di piccola sezione, immersi in una matrice di materiale conduttore normale (rame). Con riferimento a questa struttura è ancora possibile utilizzare il modello sviluppato se si definisce, mediante un processo di media su un volume piccolo rispetto alle dimensioni totali dello strand ma sufficientemente grande da contenere un elevato numero di filamenti superconduttivi e di zone in rame, una relazione E=E(J,x) valida in ogni punto, indipendentemente dal materiale (superconduttore o rame) in esso presente. A causa del twisting dei filamenti, la caratteristica equivalente è esplicitamente dipendente dal punto.

Il modello sviluppato è stato validato prendendo in esame alcuni benchmarks per cui sono disponibili delle soluzioni analitiche. Di seguito sono riportati i confronti tra risultati numerici e analitici per i casi analizzati.

Occorre evidenziare che il modello descritto è indipendente dalla temperatura; si suppone cioè che, in ogni istante, l’intero volume SC sia in equilibrio termico a temperatura assegnata.  

2. Modello per l’analisi del processo di magnetizzazione di corpi superconduttivi soggetti a campo magnetico esterno

Tipicamente la relazione costitutiva di un materiale superconduttore è espressa mediate una relazione non lineare tra i vettori E e J, che conduce ad un comportamento isteretico nella caratteristica M - B in ogni punto calcolata in fase di post-processing. In questo modello si segue un approccio differente: la caratteristica isteretica M - B è assunta direttamente come relazione costitutiva del materiale SC, che è quindi schematizzato come un materiale magnetizzabile con conducibilità elettrica nulla. La dipendenza locale tra i vettori M e B è espressa attraverso un modello fenomenologico vettoriale di isteresi del tipo Duhem. La principale caratteristica di questo modello è l’accoppiamento di due modelli isteretici, uno per le ampiezze e uno per le direzioni. Nella figura 1.2 è riportata, a titolo di esempio, l’evoluzione isteretica della magnetizzazione calcolata nel caso di campo magnetico oscillante con ampiezza lentamente crescente.

Si consideri un sistema costituito da corpi conduttori normali (bobine in rame, NC) e corpi superconduttori (SC) immersi nel vuoto.

Il campo magnetico totale H in ogni punto si può esprimere come somma di un campo magnetico H_J, associato alle correnti J^ext che circolano nelle bobine in rame, e un campo H_M, associato alla distribuzione di magnetizzazione M presente nella regione superconduttiva. Introducendo, relativamente alla componente H_M, il potenziale scalare magnetico Ψ è possibile esprimere l’integrale di linea del campo magnetico su ogni percorso congiungente i centri x_h e x_k di due elementi confinanti attraverso la seguente relazione

Sostituendo al suo interno l’equazione (1.2) e la relazione costitutiva del materiale superconduttore la precedente equazione può essere interpretata come l’equazione di bilancio delle forze magnetomotrici di un ramo di circuito magnetico contenete un termine di riluttanza lineare e uno non lineare associati ai flussi della regione SC e un termine di forza magnetomotrice impressa associato alle correnti della regione normale.

Il flusso magnetico attraverso una generica faccia S_j posta sul contorno del dominio SC può essere espresso attraverso la seguente relazione

Tale relazione permette di interpretare il flusso attraverso ogni faccia esterna come risultante dal parallelo tra un generatore di flusso indipendente e uno controllato, connessi al centro dell’elemento a cui la faccia di contorno appartiene e ad un nodo esterno fittizio.

 Inoltre, in fase di post-processing, a partire dalla distribuzione di magnetizzazione all’interno del volume SC, è possibile ricostruire il contributo al campo magnetico in tutto lo spazio prodotto dall’elemento superconduttivo.

Occorre evidenziare che il modello descritto è indipendente dalla temperatura; si suppone cioè che, in ogni istante, l’intero volume SC sia in equilibrio termico a temperatura assegnata.

Il modello numerico descritto è stato adoperato nell’analisi del processo di magnetizzazione impulsata di anelli di YBCO raffreddati in assenza di campo magnetico. Il confronto tra risultati numerici e sperimentali è mostrato in figura 4.2

I risultati ottenuti per via numerica sono in buon accordo con quelli rilevati sperimentalmente per quanto riguarda il campo intrappolato nella regione posta sopra agli anelli SC, mentre una minore rispondenza si riscontra nei valori di campo intrappolato nella parte centrale dei provini. Questi risultati sono complementari a quelli ottenuti adottando la legge della potenza come caratteristica costitutiva del materiale SC, che, al contrario, riproducono un andamento di campo che nella zona centrale è in buon accordo coi risultati sperimentali mentre si discosta notevolmente sulla superficie del provino. Tale considerazione induce a ritenere che una più accurata modellizzazione del processo di magnetizzazione si possa ottenere schematizzando il materiale come corpo sia conduttivo che magnetizzabile.

3. Modello per il calcolo delle distribuzioni di corrente e AC losses all’interno di corpi superconduttivi posti in vicinanza di corpi magnetizzabili e soggetti al campo magnetico prodotto da una bobina interagente con un circuito esterno

Si consideri un sistema costituito da un corpo superconduttivo (SC) posto in vicinanza di un corpo magnetizzabile (M) e soggetto all’influenza del campo magnetico prodotto da un bobina normale (NC) interagente con un circuito esterno (figura 1.3). Come relazione costitutiva del materiale superconduttore si assume la legge della potenza tre i vettori E e J. Per la regione magnetizzabile invece, la relazione locale M – B, nel più generale dei casi non lineare e isteretica, è assunta come legge costitutiva del materiale. La resistività è assunta infinita, ossia si trascura il contributo al campo delle correnti in essa indotte.

Sia la regione superconduttiva che quella magnetizzabile sono suddivise in un numero finito di elementi tridimensionale. Applicando alla regione superconduttiva la procedura di derivazione del circuito elettrico equivalente e alla regione magnetizzabile la procedura di derivazione del circuito magnetico equivalente descritte sopra, è possibile schematizzare l’intero sistema di figura 1.3 attraverso una rete elettrica e una rete magnetica accoppiate. La rete elettrica conterrà termini forzanti associati ai flussi della rete magnetica e, allo stesso modo, la rete magnetica conterrà termini forzanti associati alla correnti della rete elettrica. Nel caso di mezzi magnetizzabili lineari è possibile ricavare esplicitamente l’espressione dei flussi nella regione M in funzione delle correnti nella regione SC e delle corrente nella bobina ed incorporare i termini forzanti della rete elettrica associati ai flussi all’interno dei termini di auto e mutua induzione. Se l’ipotesi di linearità dei mezzi magnetici non sussiste tale procedura non è applicabile e i sistemi risolventi delle due reti non sono disaccoppiabili.

Siccome nel caso in esame la corrente che circola all’interno della bobina non è una quantità nota, i sistemi risolventi delle reti elettrica e magnetica risultano indeterminati. Per rimuovere questa indeterminazione è possibile utilizzare l’equazione di bilancio delle tensioni del circuito elettrico esterno al quale la bobina è connessa. Infatti, applicando il teorema di Poynting alla superficie chiusa Σ di figura è possibile esprimere la tensione ai capi della bobina in funzione delle correnti e dei flussi nel seguente modo

 dove L_0,coil è il coefficiente di autoinduzione della bobina in assenza di corpi magnetizzabili, L_SC è un vettore costante che moltiplica scalarmene il vettore delle correnti della regione superconduttiva, Λ_M  è una funzione dei flussi della regione magnetizzabile che diviene lineare nel caso di mezzi magnetici lineari e R_coil rappresenta la resistenza della bobina.

Il modello numerico descritto è stato adoperato per calcolare la corrente di guasto in un circuito nel quale è inserito un limitatore di corrente superconduttivo di tipo induttivo. Il confronto tra risultati numerici e sperimentali è mostrato in figura 2.3

I risultati ottenuti per via numerica sono in buon accordo con quelli rilevati sperimentalmente, soprattutto per quanto concerne la fase di normale funzionamento e i primi istanti dopo l’evento del guasto.