OTTIMIZZAZIONE DELLA SOLUZIONE DI PROBLEMI DI SINTESI MAGNETICA

Nel problema di sintesi di un campo magnetico deve essere determinata una distribuzione stazionaria di corrente (J) in un dominio tridimensionale all'esterno di una data regione di dimensioni finite. Il campo magnetico, che deve essere generato all'interno del dominio, è univocamente determinato dalle condizioni imposte sul contorno (b). Il campo sul contorno è collegato alla densità di corrente tramite una equazione integrale lineare di Fredholm di prima specie ottenuta dalla legge di Biot-Savart :

L[J] = b

(1)

Il problema inverso (1) ammette infinite soluzioni. Esso risulta quindi un problema mal posto. La determinazione di una soluzione particolare del problema inverso (1) costituisce un problema di sintesi elettromagnetica. Tale problema di sintesi viene risolto considerando il seguente problema di ottimizzazione:

minimizza P[J]

soggetto a L[J] = b

(2)

La scelta del funzionale P dipende dal tipo di applicazione e risulta generalmente non lineare. Se il funzionale è limitato inferiormente esiste almeno un minimo locale. Se esistono più minimi locali si definisce come minimo globale il minore dei minimi locali.

Inglobando i vicoli all'interno di una nuova funzione obiettivo (f), la determinazione dei parametri di progetto di un dispositivo elettromagnetico può essere effettuata determinando la soluzione di un problema di ottimizzazione nella forma:

I metodi deterministici basati sul gradiente, oltre ad ottenere solitamente un minimo locale, dipendente dalla soluzione di tentativo scelta, possono essere utilizzati soltanto per minimizzare funzioni continue e derivabili, di variabili reali. Al contrario, i metodi stocastici basati solo sulla valutazione della funzione obiettivo sono robusti e applicabili a funzioni di variabile reale o intera. Solitamente tuttavia, il numero di chiamate della funzione obiettivo durante un processo di ottimizzazione stocastico è superiore a quello necessario ad un algoritmo deterministico.

Il primo esempio di applicazione si riferisce alla determinazione del sistema di bobine poloidali per una macchina toroidale per fusione a confinamento magnetico. E’ stata considerata una configurazione a D assial-simmetrica con due punti di nullo. L’ottimizzazione riguarda l’energia magnetica del sistema. Le posizioni e le dimensioni delle bobine, ottenute dalla procedura di ottimizzazione, sono mostrate in Fig. 1 insieme alle linee di flusso del campo di induzione. Un secondo esempio riguarda la determinazione del sistema di bobine principali di un dispositivo NMR (Nuclear Magnetic Resonance). La minimizzazione è stata effettuata sul campo disperso. Le posizioni e le dimensioni delle bobine, ottenute dalla procedura di ottimizzazione, sono mostrate in figura insieme alle linee di flusso del campo di induzione. La linea tratteggiata in Fig. 2 rappresenta il contorno della regione di interesse in cui si è imposta l’uniformità del campo di induzione.

Fig.1 - Posizione delle correnti e mappa di campo per una configurazione a D.

Fig.2- Posizione delle correnti e mappa di campo per un dispositivo NMR.

Il primo obiettivo del progetto del magnete superconduttore è la determinazione della geometria degli avvolgimenti, una volta stabilito il valore dell’energia magnetica immagazzinata e il tipo di superconduttore da utilizzare. Per ridurre il costo del dispositivo è necessario rendere minimo il volume del superconduttore; inoltre per ottenere un sistema compatto è da minimizzare anche il volume dell’intero apparato. Poiché i due obiettivi sono in contrasto, è necessario risolvere un problema di minimizzazione multi-obiettivo, i cui vincoli sono l’energia magnetica, il campo disperso e le caratteristiche del superconduttore. Per quanto riguarda il sistema di bobine dello SMES è stato condotto un confronto tra la configurazione con bobine assialsimmetriche ed con bobine toroidali, e si è scelto un modello di riferimento con due avvolgimenti assialsimmetrici.